정의 2.7 (군, Group).

집합 $\mathcal{G}$ 와 그 집합 위에서 정의된 연산 $\otimes : \mathcal{G} \times \mathcal{G} \rightarrow \mathcal{G}$ 를 고려하자. 만약 다음 조건들이 성립하면 $G := (\mathcal{G}, \otimes)$ 를 군(group)이라고 부른다:

1. $\otimes$ 에 대해 $\mathcal{G}$ 가 닫혀 있음 (Closure): $\forall x, y \in \mathcal{G}$ 에 대하여, $x \otimes y \in \mathcal{G}$ 이다.

2. 결합 법칙 (Associativity): $\forall x, y, z \in \mathcal{G}$ 에 대하여, $(x \otimes y) \otimes z = x \otimes (y \otimes z)$ 이다.

3. 항등원 (Neutral element): $\forall x \in \mathcal{G}$ 에 대하여 $x \otimes e = x$ 그리고 $e \otimes x = x$ 를 만족하는 $e \in \mathcal{G}$ 가 존재한다.( $\exists e \in \mathcal{G} \forall x \in \mathcal{G} : \text{ s.t. } x \otimes e = e \otimes x = x$ )

4. 역원 (Inverse element): $\forall x \in \mathcal{G}$ 에 대하여 $x \otimes y = e$ 그리고 $y \otimes x = e$ 를 만족하는 $y \in \mathcal{G}$ 가 존재한다. 여기서 $e$ 는 항등원이다. 우리는 종종 $x$ 의 역원을 $x^{-1}$ 로 표기한다.( $\forall x \in \mathcal{G}, \exists y \in \mathcal{G} : \text{ s.t. } x \otimes y = x^{-1} \otimes x = e$ )

$\to$ 기호 $\exists$ 는 “~가 (적어도 하나) 존재한다”는 뜻이다.

예제 2.10 (군, Groups)

연산이 정의된 몇 가지 집합의 예시를 살펴보고, 그것들이 군(group)인지 확인해 보자.

• $(\mathbb{Z}, +)$ 는 아벨 군(Abelian group)이다.

• $(\mathbb{N}_0, +)$ 는 군이 아니다: 비록 $(\mathbb{N}_0, +)$ 가 항등원(0)은 가지고 있지만, 역원(음수)이 빠져 있기 때문이다.

• $(\mathbb{Z}, \cdot)$ 는 군이 아니다: 비록 $(\mathbb{Z}, \cdot)$ 가 항등원(1)은 포함하고 있지만, $z \neq \pm 1$ 인 임의의 $z \in \mathbb{Z}$ 에 대한 역원( $1/z$ )이 빠져 있기 때문이다.

• $(\mathbb{R}, \cdot)$ 는 군이 아니다: 0이 역원을 가지지 않기 때문이다.

• $(\mathbb{R} \setminus {0}, \cdot)$ 는 아벨 군이다.

• $(\mathbb{R}^n, +), (\mathbb{Z}^n, +), n \in \mathbb{N}$ 은 덧셈이 다음과 같이 성분별(componentwise)로 정의된다면 아벨 군이다.

그러면,  $(x\_1, \dots, x\_n)^{-1} := (-x\_1, \dots, -x\_n)$ 이 역원이 되고,  $e = (0, \dots, 0)$ 이 항등원이 된다.

• $(\mathbb{R}^{m \times n}, +)$ , 즉 $m \times n$ 행렬들의 집합은 ((2.61)과 같이 성분별 덧셈이 정의될 때) 아벨 군이다.

• $(\mathbb{R}^{n \times n}, \cdot)$ , 즉 행렬 곱셈이 정의된 $n \times n$ 행렬들의 집합을 자세히 살펴보자 (식 2.13 참조).

  • 닫힘 성질과 결합 법칙은 행렬 곱셈의 정의로부터 바로 따라온다.

  • 항등원: 단위 행렬 $\boldsymbol{I}_n$ 이 $(\mathbb{R}^{n \times n}, \cdot)$ 에서의 행렬 곱셈 “.”에 대한 항등원이다.

  • 역원: 만약 역행렬이 존재한다면( $\boldsymbol{A}$ 가 정칙 행렬이라면), $\boldsymbol{A}^{-1}$ 가 $\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 의 역원이다. 정확히 이 경우에만(즉, 역행렬이 존재하는 행렬들만 모았을 때만) $(\mathbb{R}^{n \times n}, \cdot)$ 은 군이 되며, 이를 일반 선형 군(general linear group)이라고 부른다.

정의 2.8 (일반 선형 군, General Linear Group). 정칙(가역, invertible) 행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 들의 집합은 식 (2.13)에 정의된 행렬 곱셈에 대하여 군(group)을 이루며, 이를 일반 선형 군(general linear group) $GL(n, \mathbb{R})$ 이라고 부른다. 하지만, 행렬 곱셈은 교환 법칙이 성립하지 않으므로(non-commutative), 이 군은 아벨 군이 아니다.

정의 2.9 (벡터 공간, Vector Space).

실수 벡터 공간 $V = (\mathcal{V}, +, \cdot)$ 은 두 가지 연산이 정의된 집합 $\mathcal{V}$ 이다:

$\to$ 우리는 흔히 벡터를 $\begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix}$ 같은 숫자의 배열이나 화살표로만 생각하는데, 위 공리만 만족하는 모든 대상을 벡터로 취급한다. 3.7절에서도 다항식이나 사인/코사인 같은 함수, 행렬도 위의 공리들을 만족하므로 벡터로 볼 수 있다. 즉, 이들에 대해 내적, 직교 투영, 고유값 분해와 같은 연산이 가능해진 것이다.

예제 2.11 (벡터 공간, Vector Spaces)

몇 가지 중요한 예시들을 살펴보자:

• $\mathcal{V} = \mathbb{R}^n, n \in \mathbb{N}$ 은 다음과 같이 연산이 정의된 벡터 공간이다:

  • 덧셈: 모든 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n$ 에 대하여 $\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y} = (x_1, \dots, x_n) + (y_1, \dots, y_n) = (x_1 + y_1, \dots, x_n + y_n)$

  • 스칼라에 의한 곱셈: 모든 $\lambda \in \mathbb{R}, \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n$ 에 대하여 $\lambda \boldsymbol{x} = \lambda(x_1, \dots, x_n) = (\lambda x_1, \dots, \lambda x_n)$

• $\mathcal{V} = \mathbb{R}^{m \times n}, m, n \in \mathbb{N}$ 은 벡터 공간이다:

  • 덧셈: $\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & \dots & a_{1n} + b_{1n} \ \vdots & & \vdots \ a_{m1} + b_{m1} & \dots & a_{mn} + b_{mn} \end{bmatrix}$ 은 모든 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \in \mathcal{V}$ 에 대하여 원소별(elementwise)로 정의된다.

  • 스칼라에 의한 곱셈: $\lambda \boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} \lambda a_{11} & \dots & \lambda a_{1n} \ \vdots & & \vdots \ \lambda a_{m1} & \dots & \lambda a_{mn} \end{bmatrix}$ 은 2.2절에서 정의된 바와 같다.

  • $\mathbb{R}^{m \times n}$ 은 $\mathbb{R}^{mn}$ 과 동등하다(equivalent)는 것을 기억하라.

• $\mathcal{V} = \mathbb{C}$ (복소수 집합)는 복소수의 표준적인 덧셈 정의와 함께 벡터 공간이 된다.

$\to$ 행렬도 벡터와 같은 덧셈과 스칼라배가 성립하므로 벡터로 볼 수 있다.

정의 2.10 (벡터 부분 공간, Vector Subspace).

$V = (\mathcal{V}, +, \cdot)$ 를 벡터 공간이라고 하고 $U \subseteq \mathcal{V}, U \neq \emptyset$ (공집합이 아닌 부분 집합)이라고 하자. 만약 $U$ 가 $U \times U$ 와 $\mathbb{R} \times U$ 로 제한된 벡터 공간 연산 $+$ 와 $\cdot$ 에 대하여 그 자체로 벡터 공간이 된다면, $U = (\mathcal{U}, +, \cdot)$ 를 $V$ 의 벡터 부분 공간(vector subspace) (또는 선형 부분 공간, linear subspace)이라고 부른다. 우리는 $U$ 가 $V$ 의 부분 공간임을 $U \subseteq V$ 로 표기한다.

$\to$ 원래 공간 $V$ 가 이미 벡터 공간의 공리들을 만족하며, $U$ 는 그런 $V$ 안에 있으니 모든 공리를 따져볼 필요 없이 영벡터(원점), 덧셈과 스칼라배의 닫힘만 확인하면 된다.

예제 2.12 (벡터 부분 공간의 예시들)

몇 가지 예시를 살펴보자:

• 모든 벡터 공간 $V$ 에 대하여, 자기 자신 $V$ 와 영공간 ${\mathbf{0}}$ 은 자명한(trivial) 부분 공간이다.

• 그림 2.6에서 오직 예시 D만이 $\mathbb{R}^2$ 의 부분 공간이다 (통상적인 내/외부 연산에 대해).

- A와 C: 폐쇄성(closure) 성질이 위배된다.

- B: 영벡터( $\mathbf{0}$ )를 포함하지 않는다.

• $n$ 개의 미지수를 가진 동차 선형 연립방정식 $\boldsymbol{Ax} = \mathbf{0}$ 의 해집합은 $\mathbb{R}^n$ 의 부분 공간이다. (이것이 바로 앞서 배운 영공간/커널입니다.)

• 비동차 선형 연립방정식 $\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}$ ( $\boldsymbol{b} \neq \mathbf{0}$ )의 해집합은 $\mathbb{R}^n$ 의 부분 공간이 아니다.

• 임의의 개수의 부분 공간들의 교집합(intersection)은 그 자체로 부분 공간이다.